Schrödinger Bridges on Lie Group Manifolds for Probabilistic Intrinsic Generation
Shizhe Zhang, Mingyang Zhao, Lei Ma
stat.ML, cs.AI, cs.LG
2026-09-02
北大与中科院把两端分布的薛定谔桥做到李群动能空间。环面用解析核 WKBC，非交换群用 RCCBM 学控制器。蛋白扭转 NLL 从 TDM 的 0.69 降到 0.59，路径比分子动力学直 95%。
分子扭转角是周期的，刚体取向住在旋转群上。把这些量摊平到欧氏空间再反复投影，会引入坐标不一致和几何误差。扩散和流匹配通常从简单先验运到数据，科学问题里两端分布都观测得到，中间那条随机路径本身也有意义，例如两种蛋白构象之间怎么走。
薛定谔桥是在相对熵意义下、贴近一条参考过程、同时匹配两端分布的随机最优传输。这篇把它做到李群上，而且允许两端只看到部分状态：位置在群上，速度在李代数里，速度可以是隐变量，由熵投影补出来。
状态写成 Xt=(gt, ξt)，gt 在李群 G 上走，速度 ξt 住在固定的李代数 g 里。参考过程是动能 Ornstein–Uhlenbeck：群坐标按左平移用速度积分，速度做阻尼加噪声。随机力和学到的控制都作用在李代数这个固定向量空间里，群坐标始终在流形上，不用反复投影。
两端只约束实际测到的量。熵投影给出唯一的桥，并决定未观测端点速度的条件分布。前向生成只需要校准后的初值，加上一个 Doob 控制器（把过程拧到命中终端观测的漂移修正）。
同一座桥有两套算法。紧致交换群（环面，蛋白/RNA 扭转角）上，周期延拓后动能核有闭式，Wrapped-Kernel Bridge Calibration（WKBC）直接算传播因子和速度方向的对数梯度。紧致非交换群（SO(3)、U(n)）没有现成核，Reciprocal Conditional-Control Bridge Matching（RCCBM）先校准两端互反律，再用磨光后的有限能量条件教师回归一个马尔可夫前向控制。刚体构型先去掉整体旋转，缩到紧致约化群再学。误差按端点、控制回归、初值、离散化拆开，用有界 Lipschitz 路径距离给了模组分界。
扭转角任务跟 TDM 对齐的先验到数据似然协议比负对数似然（越低越好）：
| 数据 | RDM | RFM | TDM | WKBC |
| General 2D | 1.04 | 1.01 | 0.69 | 0.59 |
| Glycine | 1.97 | 1.90 | 1.04 | 0.84 |
| Proline | 0.12 | 0.15 | -0.60 | -1.02 |
| Pre-Pro | 1.24 | 1.18 | 0.52 | 0.17 |
| RNA 7D | -3.70 | -5.20 | -6.86 | -8.86 |
路径诊断上 General 任务 ValidRate 从 TDM 的 0.595 升到 0.873，Ramachandran JSD 从 0.277 降到 0.125。RNA 的几何 RMSE 是少数 WKBC 没赢的格子：0.854 对 TDM 的 0.843。
SO(3) 对数似然（越高越好），RCCBM 四项全高：GMM32 为 0.328（TDM 0.292），GMM64 为 0.378（0.174），GMM128 为 0.200（0.112），RingBand 为 0.834（0.428）。GMM32 的对照直接引用 TDM 论文数字，其余三项是同一协议下重训。在 T2 上用高精度 WKBC 当参考，RCCBM 的源/目标 Sinkhorn 是 0.158/0.159，对照 0.104/0.111，方向一致但有可见缺口。
蛋白构象过渡用 mdCATH 结构域 1jvmB00 的 15 个留出对。相对分子动力学，RCCBM 路径直度增益 95.06%，粗糙度下降 99.21%。这更像正则化传输，不是说它比热运动更物理。
做流形生成、分子构象、旋转分布的人，这是把「两端都是数据」的薛定谔桥接到李群动能坐标上的一套可算实现。环面有核就解析校准，没有核就学一个控制器，误差还按模块拆开。代码公开。
它不是通用流形扩散的替代品。无条件图像生成用不上两端观测；SO(3) 和低维扭转才是它现在站得住的地盘。蛋白路径那组 95% 直度，读成「少绕路的随机桥」，不要读成更好的分子动力学。
作者写了：实验集中在中等维紧致群和选定分子任务，更高维、更大体系、非紧致李群、齐性空间都还没做。刚体笛卡尔重建是后处理，随机性保证只在约化群上。
另外，SO(3)-GMM32 的基线是引用而非重跑，和其他三行不完全同条件。RNA 几何 RMSE 略差，说明似然赢了不代表所有几何指标都赢。蛋白路径对比的是嘈杂 MD 轨迹，几乎任意光滑插值都会显得更直。RCCBM 组件多（端点校准、磨光教师、重要性修正、终端精修），消融显示拿掉端点校准或终端回放，相对 MSE 和 MMD 都会变差，工程复杂度不低。