An Elementary Expression for Multiple Scattering in Homogeneous Microflake Media
Jonathan Dupuy
cs.GR
2026-09-17
用无参数二次NDF解析求和全部散射阶，得到闭式BRDF (zi+zo)/π(1+ωi·ωo)。法向入射等于Lambert，掠射向镜面收束，两个均匀随机数即可采样。
Smith 微面元理论把粗糙表面当成一堆随机朝向的小镜面。现行标准的 Smith 阴影假设认为，小镜面朝向和它在表面上的位置统计独立。这样一来，表面反射等价于半无限参与介质里的随机游走：光线钻进去，撞到微片再弹开，直到从边界逃出。BRDF 就是逃逸方向的分布。
完整输运几乎写不出闭式。现有模型只能拆成两条路。只算单次散射，求值和采样都有初等公式，但丢掉多次反射的能量。用随机游走把所有散射阶都算上，能量守恒，却没有初等闭式。Heitz 等人 2016 年的随机多重散射、Bitterli 与 d'Eon 的无位置路径积分、Cui 等人基于不变原理的多弹跳，都停在随机表示或递推上。一篇 Smith 微面元 BRDF 能不能既精确包含全部散射阶、又有初等求值和直接采样，此前是开着的。
Dupuy 把表面建成均匀、半无限、镜面微片介质。输运完全由法线分布函数 NDF 决定：碰撞服从 Beer-Lambert 定律，方向按镜面相位函数偏转。介质在水平方向均匀，只需跟踪垂直深度。
关键收窄有两步。
最终 BRDF 是 fr(ωi, ωo)=(zi+zo)/(π(1+ωi·ωo))。zi、zo 是入射、出射方向与表面法线的余弦。法向入射时 zi=1 且点积等于 zo，公式退化成 1/π，就是 Lambert。掠射时能量往镜面方向收。
采样把这个式子读成 Poisson 核的 Jacobian。McCullagh 的弦变换做法是：在正交投影圆盘上先均匀抽半径，再用入射方向构造的枢轴把等半径圆周做一次映射，两个均匀随机数直接抽到目标密度。同一套几何也给出二次相位函数的采样。
推导过程还复现了已知结果。各向同性微片的前两阶就是 Chandrasekhar BRDF 的对应项。单侧均匀 NDF 等于粗糙度 α=1 的 GGX，其一阶是已知公式，二阶这篇给出了新的闭式。均匀 NDF 加不完整个级数，所以才换成二次。
没有 RMSE、PSNR 这类表。验证走两条线：随机游走直方图对闭式，以及渲染对比。
Figure 7 在入射角 0°、45°、80° 上，用二次 NDF 跑随机游走得到直方图，和公式贴在一起。0° 时分布是常数，和 Lambert 一致；80° 时明显不对称，能量堆到圆盘对侧。
Figure 8 用方向光绕球，对照四组：闭式本身、同一 NDF 的随机游走、Lambert、α=1 且微面全反射的 GGX（单次与多次）。闭式和随机游走几乎看不出差，差别主要是随机游走的方差。相对 Lambert，掠射时高光收束更明显。相对 GGX 单次散射，后者更暗，因为丢掉了互反射能量；GGX 多次散射把这部分能量找回来，外观更接近这篇，但那条路没有初等公式。
Figure 9 用 uffizi.hdr 做图像照明。这篇看起来接近漫反射，但仍保留随入射方向变化的响应。单次 GGX 偏暗，多次 GGX 能量回来。
能量守恒是构造保证的：只要下行方向的投影面积 σ>0，随机游走几乎必然逃出，级数又把所有阶加完。
对做渲染的人，这是一张能直接写进着色器的公式：求值是几次加减乘除，采样是两次均匀随机数加一次圆盘变换，没有循环、没有随机游走、没有查找表。它证明「精确多重散射加初等闭式」在 Smith 框架里不是空集。
它替换不了 Disney 或 GGX 工作流里的通用材质。NDF 没有粗糙度参数，外观被钉死在「法向 Lambert、掠射收束」这一条曲线上。以后要找带粗糙度的闭式，至少知道二次这一支能走通，均匀 GGX 那一支加不完。
致谢里写得很直白：二次 NDF 是作者拿 2022 年的笔记去问 ChatGPT 5.6 才找到的。作者原先认定，最简单的均匀单侧 NDF 如果不行，别的也没戏。这个故事改变不了公式本身，但说明「找一个能积出来的分布」这类问题，模型搜索已经能帮忙。
作者自己点出的硬限制：二次 NDF 没有粗糙度，能代表的外观范围窄。带参数的模型能不能保住这种闭式，文中明确说还不知道。
实验侧几乎全是视觉对比。没有能量积分的数值表，没有与 Heitz 2016、Bitterli 与 d'Eon、Cui 2023 的误差或方差定量对照，也没有着色器周期、路径长度这类性能数字。随机游走对照用的是同一套二次 NDF，验证的是推导有没有算错，不是和其他多重散射模型比谁更准。
BRDF 还假定微片全是理想镜面、介质均匀半无限、Smith 独立假设成立。真实表面的相关高度、各向异性、菲涅尔、透射，这篇都没覆盖。采样算法给了伪代码，没有附实现。