从勒让德变换的规范自由度看凸分析分层:一张图理清 F、Γ₀ 到信息几何
FrnkNlsn · x · 2026-10-15
作者分享了一张关于 Legendre 变换「规范自由度」(gauge freedom) 的总结图,以嵌套集合的形式梳理了凸分析到信息几何的函数分层:
- F(扩展实值函数):双共轭(biconjugation)给出最佳凸下界 F≤F;
- Γ₀(proper 下半连续凸函数):双共轭成为对合,F=F;
- Γ₁(Legendre 型函数):Fenchel-Young/Bregman 表示散度、Clairaut-Schwarz-Young 混合导数定理;
- Γ₂(二阶可微):信息 Hessian 几何、Levi-Civita 联络与 Hessian 平坦散度;
- Γ₃(三阶可微):三次张量与 α-Hessian 几何族。
对理解信息几何与对偶势函数的结构有帮助。
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