数值线性代数老文翻红:几乎永远不要直接求逆矩阵
tdhopper · x · 2026-09-28
John D. Cook 2010 年的经典博文被再次转发。核心论点:即使要解 Ax=b,也几乎从不需要真的计算 A⁻¹。
- 解方程 Ax=b 比求逆更快;书里写 x=A⁻¹b 只是记号,不代表要那样算
- 多个不同的 b 也不必求逆:第一次分解矩阵并保存因子(O(n³)),之后每次新求解只需 O(n²)。如 n=1000,二次起快 1000 倍
- 即使已经算出 A⁻¹(甚至免费),直接解方程仍比乘 A⁻¹ 数值精度更高
- 大型稀疏矩阵场景更明显:n=1,000,000 的带状矩阵占 MB 级内存可快速求解,而求逆会得到稠密矩阵,需 TB 级存储
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